Dimension de un Espacio Vectorial

           Las proposiciones siguientes tienen por objeto demostrar que la dimensión de un espacio vectorial de dimensión finita es un número bien definido, esto es: 2 Bases de un mismo espacio vectorial de dimensión finita, tienen el mismo número de elementos

•  Proposición:

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y X= {v₁,v₂,v₃,…,v_m} un conjunto de vectores linealmente independientes. Sea c ∈ K, c  0 y a₁,a₂,…,a_m ∈ K arbitrarios:

Entonces los vectores

       w₁ = (v₁ - a₁v_m) , w₂ = (cv₂ - a₂v_m), .... , w_m-1 = (cv_m-1 - a_m-1v_m), son linealmente independientes

• Proposición:

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y X= {x₁,x₂,…,x_n} un subconjunto finito de V. Entonces el número de vectores linealmente independientes en [X] es menor o igual a n.

• Proposición:

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo K. Entonces 2 Bases de V tienen el mismo número de elementos

• Proposición:

Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo K. Entonces todo subconjunto de n vectores linealmente independientes es una base de V.

• Proposición:

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K tal que dimV=n. Sea S un subespacio vectorial de V. Entonces:

dim S < dim V

RESUMEN: Espacios Vectoriales

Espacio Vectorial
Un espacio vectorial sobre un cuerpo ${\displaystyle K\;}$es un conjunto ${\displaystyle V\;}$no vacío, dotado de dos operaciones:
         1. La suma de vectores ("+")
         2. El producto por un escalar ("·")
para las cuales será cerrado${\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{Suma}}&+:&{V\times {}V}&\longrightarrow {}&{V}\\&&{(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}&\mapsto &{\mathbf {u} +\mathbf {v} }\end{matrix}}}$

El Espacio Vectorial con estás operaciones cumple ques:

1. (V,+) es un Grupo Abeliano:

• Conmutativa: ∀x,y ∈ V: x+y = y+x
• Asociativa: ∀x,y,z ∈ V; x+(y+z)=(x+y)+z
• Elemento Neutro: x+0=  0+x = x
• Elemento Simétrico:  ∀x ∈ V existe -x ∈ V tal que : x+(-x) = (-x)+x = 0

2. La operación · verifica las propiedades:

• M1. ∀ α , β ∈ K, ∀ x ∈ V: (α + β) x = αx + βx
• M2. ∀ α , β ∈ K, ∀ x ∈ V: (α · β) x = α(βx)
• M3. ∀ α ∈ K, ∀ x , y ∈ V: α(x + y) = αx + αy
• M4. ∀ x ∈ V: 1x= x

Subespacio Vectorial
       Un subconjunto no vacío S, es un subespacio vectorial si:

•  0 ∈ S
•  ∀ x , y ∈ S: x + y ∈ S
•  ∀ α ∈ K, ∀ x ∈ S: αx ∈ S

Independencia Lineal
        Dado un subconjunto X={x₁,x₂,x₃,…,x_n}. Se dice que X es libre 
o los vectores x₁,x₂,x₃,…,x_n son linealmente independientes si y solo si:
        Dado que α₁x₁ + α₂x₂ + … + α_nx_n = 0
        entonces α₁=0, α₂=0, …, α_n=0.


Generador de espacio vectoria
 Un conjunto de vectores X={x₁,x₂,x₃,…,x_n}es un generador de V si y sólo si se puede generar todos los vectores de V a partir de multiplicar los vectores de X por un α ∈ K y sumándolos.

 [X] es el conjunto de vectores generados por X.


Base de un espacio vectorial
     X es una base de V si y solo si: 

• X es un conjunto de generadores de V
• X es libre

Dimensión de un espacio vectorial
     Si la base de V es X={x₁,x₂,x₃,…,x_n}, entonces DimV= n

Estructuras Algebraicas

Una Estructura Algebraica es una n-tupla (a₁, a₂,..., a_n) donde a₁ es un conjunto dado no vacío y {a₂, a₃,..., a_n} es un conjunto de operaciones aplicables a los elemento de dicho conjunto

1 Ley de Comp	Ley Interna	Asociativo	Elem. Neutro	Elem. Simétrico
Magma	Si	x	x	x
Semigrupo	Si	Si	x	x
Monoide	Si	Si	Si	x
Grupo	Si	Si	Si	Si
·	Si	x	Si	x
Bucle	Si	x	Si	Si

2 Leyes de Comp	Grupo Conmutativo	Distrivutivo	Asociativo	Elem. Neutro	Elem. Simétrico
Anillo	Si	Si	Si	x	x
Anillo Unitario	Si	Si	Si	Si	x
Cuerpo	Si	Si	Si	Si	Si

Espacios Vectoriales

Introducción al Álgebra Lineal

1. Estructuras Algebraicas
   • Monoide: Es una estructura algebraica con una operación binaria, que es asociativa y tiene elemento neutro. Si además se cumple la propiedad conmutativa se dice que es un monoide conmutativo o abeliano.
   • Grupo: Consta de un conjunto con una operación que combina cualquier pareja de sus elementos para formar un tercer elemento. Debe tener la propiedad asociativa, el elemento identidad y elemento simétrico. Si ademas tiene la propiedad conmutativa, entonces es un Grupo Conmutativo o Abeliano
   • Anillo: Se define a la terna (A,+,•) como anillo si (A,+) es un grupo abeliano y • es una operación asociativa y distributiva respecto de +. Suele denominarse «suma» y «producto» a las operaciones + y •, respectivamente. En esta convención, el elemento neutro de la suma se designa como 0 y el inverso con respecto a la suma de un elemento a, perteneciente al conjunto A dado, se denota como –a
   • Cuerpo: Es una estructura algebraica en la cual las operaciones llamadas adición y multiplicación se pueden realizar y cumplen las propiedades: asociativa, conmutativa y distributiva de la multiplicación respecto de la adición, además de la existencia de inverso aditivo, de inverso multiplicativo y de un elemento neutro para la adición y otro para la multiplicación, los cuales permiten efectuar las operaciones de sustracción y división (excepto la división por cero
2. Espacio Vectorial: Sea K un cuerpo. Un espacio vectorial sobre K es una terna (V,+,·) donde V es un conjunto no vacio y "+","·" son operaciones tales que:
   1. (V, +) es un Grupo Abeliano
   2. La operación · es una función de K×V en V tal que asocia a ∀ (α , x) ∈ K×V un elemento de V que denotaremos ax y llamado producto de escalar a por el vector x y tal que verifique las siguientes propiedades:
      • M1. ∀ α , β ∈ K, ∀ x ∈ V: (α + β) x = αx + βx
      • M2. ∀ α , β ∈ K, ∀ x ∈ V: (α · β) x = α(βx)
      • M3. ∀ α ∈ K, ∀ x , y ∈ V: α(x + y) = αx + αy
      • M4. ∀ x ∈ V: 1x= x
3. Subespacio Vectorial: Sea V un Espacio Vectorial sobre un cuerpo K, y sea S un subconjunto no vacío de V. Entonces se dice que S es un Subespacio Vectorial de V si S es un Espacio Vectorial con las operaciones de V restringidas a S.
   • Podemos decir que si V es un K-espacio vectorial y S ⊂ V es un subconjunto no vacío de V. Entonces S es un subespacio vectorial de V si y solo si se cumplen las siguientes 3 condiciones:
     1. El vector nulo, 0 ∈ S.
     2. ∀ x , y ∈ S: x + y ∈ S
     3. ∀ α ∈ K, ∀ x ∈ S: αx ∈ S
4. Combinaciones Lineales: Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y {x₁,x₂,x₃,…,x_n} ⊂ V. Un elemento x ∈ V se dice que es una combinación lineal de los x_i (i= 1,...,n) si existen escalares α₁, α₂, …, α_n ∈ K, tales que:
   • x = α₁x₁ + α₂x₂ + ... + α_nx_n
5. Subconjunto Generador de un Subespacio Vectorial: Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K, S un subconjunto de V. Entonces existe un subespacio vectorial de V que contiene a S y ademas es el menor subespacio de V que contiene a S, en el siguiente sentido:
   • Si T es un subespacio de V que contiene a S, entonces T contiene al subespacio que contiene a S. Dicho subespacio lo denotaremos [S] y se dice que es el subespacio vectorial generado por el subconjunto S
6. Conjunto de Generadores: Sea V un Espacio Vectorial sobre un cuerpo K y S un subespacio vectorial de V y sea H un subconjunto de V, entonces H es un conjunto de generadores de S, si y solo si [H]=S y S es finitamente generado si existe un subconjunto finito de generadores de S
7. Independencia Lineal: Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y X={x₁,x₂,x₃,…,x_n} un subconjunto finito de V. Se dice que X es un subconjunto libre o que los vectores x₁,x₂,x₃,…,x_n son Linealmente independientes si y solo si la única combinación lineal de los vectores x_i (i= 1,...,n) igual al vector nulo, es aquella en que todos los escalares son nulos
   • De manera precisa: si α₁, α₂, …, α_n ∈ K son tales que:
     • α₁x₁ + α₂x₂ + ... + α_nx_n = 0, entonces α₁=0, α₂=0, …, α_n=0.
8. Bases: Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Un subconjunto no vacío X de V, se dice que es una base de V si y solo si
   1. X es un conjunto de generadores de V
   2. X es libre
9. Dimensión: Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Entonces se dice que la dimensión de V es 'n' y lo denotaremos:
   • dim_kV: n, o simplemente dimV, si y solo si V tiene una base de n elementos
10. Suma de Subespacios Vectoriales: Sea V un Espacio Vectorial sobre un cuerpo K. Sean S,T subespacios vectoriales de V. Entonces se define la suma de los subespacios S y T como el subespacio vectorial de V generado por la union de S y T.
    • La suma del subespacio S con el subespacio T la denotaremos S+T. Asi, S+T es el menor subespacio vectorial de V que contiene a S y a T