Dimension de un Espacio Vectorial

           Las proposiciones siguientes tienen por objeto demostrar que la dimensión de un espacio vectorial de dimensión finita es un número bien definido, esto es: 2 Bases de un mismo espacio vectorial de dimensión finita, tienen el mismo número de elementos

•  Proposición:

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y X= {v₁,v₂,v₃,…,v_m} un conjunto de vectores linealmente independientes. Sea c ∈ K, c  0 y a₁,a₂,…,a_m ∈ K arbitrarios:

Entonces los vectores

       w₁ = (v₁ - a₁v_m) , w₂ = (cv₂ - a₂v_m), .... , w_m-1 = (cv_m-1 - a_m-1v_m), son linealmente independientes

• Proposición:

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y X= {x₁,x₂,…,x_n} un subconjunto finito de V. Entonces el número de vectores linealmente independientes en [X] es menor o igual a n.

• Proposición:

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo K. Entonces 2 Bases de V tienen el mismo número de elementos

• Proposición:

Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo K. Entonces todo subconjunto de n vectores linealmente independientes es una base de V.

• Proposición:

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K tal que dimV=n. Sea S un subespacio vectorial de V. Entonces:

dim S < dim V