RESUMEN: Espacios Vectoriales

Espacio Vectorial
Un espacio vectorial sobre un cuerpo ${\displaystyle K\;}$es un conjunto ${\displaystyle V\;}$no vacío, dotado de dos operaciones:
         1. La suma de vectores ("+")
         2. El producto por un escalar ("·")
para las cuales será cerrado${\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{Suma}}&+:&{V\times {}V}&\longrightarrow {}&{V}\\&&{(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}&\mapsto &{\mathbf {u} +\mathbf {v} }\end{matrix}}}$

El Espacio Vectorial con estás operaciones cumple ques:

1. (V,+) es un Grupo Abeliano:

• Conmutativa: ∀x,y ∈ V: x+y = y+x
• Asociativa: ∀x,y,z ∈ V; x+(y+z)=(x+y)+z
• Elemento Neutro: x+0=  0+x = x
• Elemento Simétrico:  ∀x ∈ V existe -x ∈ V tal que : x+(-x) = (-x)+x = 0

2. La operación · verifica las propiedades:

• M1. ∀ α , β ∈ K, ∀ x ∈ V: (α + β) x = αx + βx
• M2. ∀ α , β ∈ K, ∀ x ∈ V: (α · β) x = α(βx)
• M3. ∀ α ∈ K, ∀ x , y ∈ V: α(x + y) = αx + αy
• M4. ∀ x ∈ V: 1x= x

Subespacio Vectorial
       Un subconjunto no vacío S, es un subespacio vectorial si:

•  0 ∈ S
•  ∀ x , y ∈ S: x + y ∈ S
•  ∀ α ∈ K, ∀ x ∈ S: αx ∈ S

Independencia Lineal
        Dado un subconjunto X={x₁,x₂,x₃,…,x_n}. Se dice que X es libre 
o los vectores x₁,x₂,x₃,…,x_n son linealmente independientes si y solo si:
        Dado que α₁x₁ + α₂x₂ + … + α_nx_n = 0
        entonces α₁=0, α₂=0, …, α_n=0.


Generador de espacio vectoria
 Un conjunto de vectores X={x₁,x₂,x₃,…,x_n}es un generador de V si y sólo si se puede generar todos los vectores de V a partir de multiplicar los vectores de X por un α ∈ K y sumándolos.

 [X] es el conjunto de vectores generados por X.


Base de un espacio vectorial
     X es una base de V si y solo si: 

• X es un conjunto de generadores de V
• X es libre

Dimensión de un espacio vectorial
     Si la base de V es X={x₁,x₂,x₃,…,x_n}, entonces DimV= n