Espacios Vectoriales

Introducción al Álgebra Lineal

1. Estructuras Algebraicas
   • Monoide: Es una estructura algebraica con una operación binaria, que es asociativa y tiene elemento neutro. Si además se cumple la propiedad conmutativa se dice que es un monoide conmutativo o abeliano.
   • Grupo: Consta de un conjunto con una operación que combina cualquier pareja de sus elementos para formar un tercer elemento. Debe tener la propiedad asociativa, el elemento identidad y elemento simétrico. Si ademas tiene la propiedad conmutativa, entonces es un Grupo Conmutativo o Abeliano
   • Anillo: Se define a la terna (A,+,•) como anillo si (A,+) es un grupo abeliano y • es una operación asociativa y distributiva respecto de +. Suele denominarse «suma» y «producto» a las operaciones + y •, respectivamente. En esta convención, el elemento neutro de la suma se designa como 0 y el inverso con respecto a la suma de un elemento a, perteneciente al conjunto A dado, se denota como –a
   • Cuerpo: Es una estructura algebraica en la cual las operaciones llamadas adición y multiplicación se pueden realizar y cumplen las propiedades: asociativa, conmutativa y distributiva de la multiplicación respecto de la adición, además de la existencia de inverso aditivo, de inverso multiplicativo y de un elemento neutro para la adición y otro para la multiplicación, los cuales permiten efectuar las operaciones de sustracción y división (excepto la división por cero
2. Espacio Vectorial: Sea K un cuerpo. Un espacio vectorial sobre K es una terna (V,+,·) donde V es un conjunto no vacio y "+","·" son operaciones tales que:
   1. (V, +) es un Grupo Abeliano
   2. La operación · es una función de K×V en V tal que asocia a ∀ (α , x) ∈ K×V un elemento de V que denotaremos ax y llamado producto de escalar a por el vector x y tal que verifique las siguientes propiedades:
      • M1. ∀ α , β ∈ K, ∀ x ∈ V: (α + β) x = αx + βx
      • M2. ∀ α , β ∈ K, ∀ x ∈ V: (α · β) x = α(βx)
      • M3. ∀ α ∈ K, ∀ x , y ∈ V: α(x + y) = αx + αy
      • M4. ∀ x ∈ V: 1x= x
3. Subespacio Vectorial: Sea V un Espacio Vectorial sobre un cuerpo K, y sea S un subconjunto no vacío de V. Entonces se dice que S es un Subespacio Vectorial de V si S es un Espacio Vectorial con las operaciones de V restringidas a S.
   • Podemos decir que si V es un K-espacio vectorial y S ⊂ V es un subconjunto no vacío de V. Entonces S es un subespacio vectorial de V si y solo si se cumplen las siguientes 3 condiciones:
     1. El vector nulo, 0 ∈ S.
     2. ∀ x , y ∈ S: x + y ∈ S
     3. ∀ α ∈ K, ∀ x ∈ S: αx ∈ S
4. Combinaciones Lineales: Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y {x₁,x₂,x₃,…,x_n} ⊂ V. Un elemento x ∈ V se dice que es una combinación lineal de los x_i (i= 1,...,n) si existen escalares α₁, α₂, …, α_n ∈ K, tales que:
   • x = α₁x₁ + α₂x₂ + ... + α_nx_n
5. Subconjunto Generador de un Subespacio Vectorial: Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K, S un subconjunto de V. Entonces existe un subespacio vectorial de V que contiene a S y ademas es el menor subespacio de V que contiene a S, en el siguiente sentido:
   • Si T es un subespacio de V que contiene a S, entonces T contiene al subespacio que contiene a S. Dicho subespacio lo denotaremos [S] y se dice que es el subespacio vectorial generado por el subconjunto S
6. Conjunto de Generadores: Sea V un Espacio Vectorial sobre un cuerpo K y S un subespacio vectorial de V y sea H un subconjunto de V, entonces H es un conjunto de generadores de S, si y solo si [H]=S y S es finitamente generado si existe un subconjunto finito de generadores de S
7. Independencia Lineal: Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y X={x₁,x₂,x₃,…,x_n} un subconjunto finito de V. Se dice que X es un subconjunto libre o que los vectores x₁,x₂,x₃,…,x_n son Linealmente independientes si y solo si la única combinación lineal de los vectores x_i (i= 1,...,n) igual al vector nulo, es aquella en que todos los escalares son nulos
   • De manera precisa: si α₁, α₂, …, α_n ∈ K son tales que:
     • α₁x₁ + α₂x₂ + ... + α_nx_n = 0, entonces α₁=0, α₂=0, …, α_n=0.
8. Bases: Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Un subconjunto no vacío X de V, se dice que es una base de V si y solo si
   1. X es un conjunto de generadores de V
   2. X es libre
9. Dimensión: Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Entonces se dice que la dimensión de V es 'n' y lo denotaremos:
   • dim_kV: n, o simplemente dimV, si y solo si V tiene una base de n elementos
10. Suma de Subespacios Vectoriales: Sea V un Espacio Vectorial sobre un cuerpo K. Sean S,T subespacios vectoriales de V. Entonces se define la suma de los subespacios S y T como el subespacio vectorial de V generado por la union de S y T.
    • La suma del subespacio S con el subespacio T la denotaremos S+T. Asi, S+T es el menor subespacio vectorial de V que contiene a S y a T