Disclaimer
Dicho esto, puedes proceder a ver los desastres lógicos que se me han ocurrido hacer
Para empezar no tengo idea si ya existe, pero me imagino que no. Al menos, no creo que exista como algo útil. Muy seguramente muchos ya lo pensaron pero digamos que su utilidad, así se le busquen infinitos usos, tiende siempre a cero.
Sin embargo, lo quiero compartir como curiosidad que muchos no conocerán, y sobre todo porque sirve como introducción a cierta parte de la matemática básica que muchos desconocen, y no creo que deberían hacerlo.
Lo primero es: Yo estudio matemática, pero antes de eso estudié física 2 años en la Universidad Central de Venezuela (Uh-Uh-U-C-V). Ahí descubrí que amaba las matemáticas viendo Matemática II y, muy por sobre todo, con las integrales indefinidas. Practicaba y practicaba horas y horas en mi casa porque me encantaba. Usaba todos los métodos de integración que tradicionalmente se enseñan y probaba con cada ejercicio a la mano como integrarlo usando cada una de esas tećnicas, y así fui descubriendo cuál era más adecuada para cada caso.
Para los que no saben, o no recuerdan, en general se enseñan 5 tipos de técnicas de integración:
- Por partes
- Por sustitución simple
- Cambio trigonométrico
- Cambio universal
- Fracciones
El punto es que antes de perder mi vida resolviendo integrales TODO el día, lo hacía jugando con las identidades trigonométricas, y desde un tiempo ya, para ese momento, en particular me perdían en el mundo de la Trigonometría inversa. Esto no es más que las funciones inversas al seno, coseno, tangente y demás. Lo otro que me robaba horas de sueño era jugar con los número imaginarios.
Entonces un día descubrí la Trigonometría Hiperbólica y ya no había vuelta atrás
En fin que, un día en clases estabamos trabajando ejemplo de integración por fracciones. Este tipo de integración siempre me pareció fastidioso y evitaba usarla.
El método que anteriormente estabamos estudiando era la sustitución trigonométrica, que si me divierte. Yo hacía lo posible para llevar la integral a una derivada de función trigonométrica conocida, y era instantáneo para mí reconocerlas (no que sea algo demasiado complicado, solo digo que era lo que buscaba) y cuando el profesor propuso esta integral
Sabiendo que debía hacer procedimiento para separar las fracciones, dije: "Es tan parecida a la derivada de la arcotangente
Entonces tuve la idea inicial. Realmente es muy simple cuando se explica y hasta parece obvia: simplemente hice una sustitución, y de la misma manera que hacemos un cambio x = ay, con a un numero real cualquiera; saltandome todo la teoría que debería utilizar para podría justificar lo que quería, hice el cambio x = iy, siendo i la unidad imaginaria.
Una vez se hace esto, la función se simplifica muchísimo, y si simplemente tratamos a i como una constante multiplicativa más, lo sacamos de la integral y enseguida tenemos un resultado en un solo paso
Ahora, logramos eliminar la integral y obtener una función como respuesta, pero la pregunta siguiente es ¿Cómo se da el resultado en términos de x? Es decir, es hora devolver el cambio, lo cual no es realmente complicado, pero nos da un resultado no muy útil
Entonces nos preguntamos ¿Es posible obtener un resultado sin el i imaginario y con x?
Pues para ello sólo se requiere utilizar las siguientes fórmulas que "comunican"
